Teoremas de Álgebra Booleana e Leis da Álgebra Booleana
álgebra booleana é um tipo diferente de álgebra ou melhor, pode serdisse um novo tipo de álgebra que foi inventada pelo matemático mundialmente famoso George Boole no ano de 1854. Ele publicou em seu livro "Uma Investigação das Leis do Pensamento". Mais tarde usando esta técnica Claude Shannon introduziu um novo tipo de álgebra que é denominado como Álgebra de Comutação. Na eletrônica digital, existem vários métodos para simplificar o design de circuitos lógicos. Essa álgebra é um desses métodos. De acordo com George Boole, os símbolos podem ser usados para representar a estrutura dos pensamentos lógicos. Este tipo de álgebra lida com as regras ou leis, conhecidas como leis da álgebra booleana pelo qual as operações lógicas são realizadas.
Existem também alguns teoremas da álgebra booleana, que são necessários para serem observados com cuidado, porqueestes tornam o cálculo mais rápido e fácil. A lógica booleana lida com apenas duas variáveis, 1 e 0, pelas quais todas as operações matemáticas devem ser realizadas.
Álgebra booleana ou álgebra de comutação é um sistemada lógica matemática para realizar diferentes operações matemáticas no sistema binário. Existem apenas três operações binárias de base, AND, OR e NOT, pelas quais todas as operações matemáticas binárias, simples e complexas, devem ser feitas. Existem muitas regras na álgebra booleana por meio das quais essas operações matemáticas são feitas. Na álgebra booleana, as variáveis são representadas pela letra maiúscula inglesa como A, B, C etc e o valor de cada variável pode ser 1 ou 0, nada mais. Na álgebra booleana uma expressão dada também pode ser convertida em um diagrama lógico usando diferentes portas lógicas como porta AND, porta OR e porta NOT, portas NAND, portas NAND, portas XOR, portas XNOR, etc.
Algumas operações booleanas lógicas básicas,
E operação
Operação OR
Não operação
Algumas leis básicas para a álgebra booleana
UMA . 0 = 0 onde A pode ser 0 ou 1.
UMA . 1 = A, onde A pode ser 0 ou 1.
UMA . A = A, onde A pode ser 0 ou 1.
UMA . Â = 0 onde A pode ser 0 ou 1.
A + 0 = A, onde A pode ser 0 ou 1.
A + 1 = 1 onde A pode ser 0 ou 1.
A + = 1
A + A = A
A + B = B + A, onde A e B podem ser 0 ou 1.
UMA . B = B A onde A e B podem ser 0 ou 1.
As leis da álgebra booleana também são verdadeiras para mais de duas variáveis como:
Lei Cumulativa para Álgebra Booleana
De acordo com a Lei Cumulativa, a ordem das operações OR e operações realizadas nas variáveis não faz diferença.
Leis Associativas para Álgebra Booleana
Esta lei é para várias variáveis, onde a operação OR do resultado das variáveis é a mesma, embora o agrupamento das variáveis. Esta lei é bem a mesma no caso dos operadores AND.
Leis distributivas para a álgebra booleana
Esta lei é composta por dois operadores, AND e OR.
Vamos mostrar um uso desta lei para provar a expressão
Prova:
Regra Literal Redundante
Da tabela da verdade,
| Entradas | Saída | ||
| UMA | B | ΒB | A + βB |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| Entradas | Saída | |
| UMA | B | A + B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Da tabela da verdade está provado que,
Leis de Absorção para Álgebra Booleana
Prova da tabela de verdade,
| Entradas | Saída | ||
| UMA | B | AB | A + A.B |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
A coluna A e A + A.B é a mesma.
Prova da tabela de verdade,
| UMA | B | A + B | A.X (A + B) |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
A coluna A e A.X ou A (A + B) são iguais.
O Therem de De Morgan,
Prova da tabela de verdade,
Exemplos de álgebra booleana
Estes são outro método de simplificar a expressão booleana complexa. Neste método, usamos apenas três etapas simples.
- Complementar toda a expressão booleana.
- Mude todos os ORs para ANDs e todos os ANDs para ORs.
- Agora, complemente cada uma das variáveis e obtenha a expressão final.
Por este método,
E é exatamente igual aos resultados que vieram aplicando o Teorema de De Morgan.
Outro exemplo,
Pelo segundo método,
Representação da função booleana na tabela verdade.
Vamos considerar uma função booleana
Agora vamos representar a função na tabela verdade.
Assim, mostramos algumas leis da álgebra booleana. Na outra página, descrevemos os teoremas de De Morgan e as leis relacionadas.