Булеви теореми и закони на булевата алгебра

Булева алгебра е различен вид алгебра или по-скоро може да бъдеказва нов вид алгебра, която е изобретен от световно известния математик Джордж Бул през 1854 година. По-късно, използвайки тази техника, Клод Шанън въвежда нов тип алгебра, която се нарича превключваща алгебра. В цифровата електроника има няколко метода за опростяване на проектирането на логически схеми. Тази алгебра е един от тези методи. Според Джордж Бул символите могат да се използват за представяне на структурата на логическите мисли. Този тип алгебра се занимава с правилата или законите, които са известни като закони на булева алгебра чрез които се извършват логическите операции.

Има и няколко такива теореми за булева алгебра, които са необходими, за да бъдат забелязани внимателно, защототе правят изчисленията най-бързи и по-лесни. Булевата логика се занимава само с две променливи, 1 и 0, чрез които трябва да се изпълнят всички математически операции.
Булева алгебра или комутираща алгебра е системана математическа логика за извършване на различни математически операции в двоичната система. Има само три базирани бинарни операции, AND, OR и NOT, чрез които трябва да се правят всички прости, както и сложни двоични математически операции. Има много правила в булевата алгебра, чрез които се извършват тези математически операции. В булева алгебра, променливите са представени от английски букви като A, B, C и т.н., а стойността на всяка променлива може да бъде 1 или 0, нищо друго. В булева алгебра даден израз може също да бъде преобразуван в логическа схема, като се използват различни логически порти като AND gate, OR gate и NOT gate, NOR порти, NAND порта, XOR порта, XNOR порти

Някои основни логически булеви операции,
И Работа

ИЛИ Операция
Not Operation

Някои основни закони за булева алгебра

А. 0 = 0, където А може да бъде 0 или 1.
А. 1 = А, където А може да бъде 0 или 1.
А. А = А, където А може да бъде 0 или 1.
А. 0 = 0, където А може да бъде 0 или 1.
А + 0 = А, където А може да бъде 0 или 1.
А + 1 = 1, където А може да бъде 0 или 1.
A + Ā = 1
A + A = A
А + В = В + А, където А и В могат да бъдат 0 или 1.
А. B = B. А, където А и В могат да бъдат 0 или 1.
Законите на булевата алгебра също са верни за повече от две променливи като,

Кумулативен закон за булева алгебра

Съгласно Кумулативното право, редът на операциите с ИЛИ и операциите, извършени върху променливите, не прави разлика.

Асоциативни закони за булева алгебра

Този закон е за няколко променливи, при които операцията OR на променливите е същата, въпреки групирането на променливите. Този закон е съвсем същият в случая с операторите AND.

Разпределителни закони за булева алгебра

Този закон се състои от два оператора AND и OR.

Нека покажем едно използване на този закон, за да докажем израза

Доказателство:

Излишно буквално правило

От таблицата на истината,

Входове			продукция
А	B	AB	A + .B
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	1	0	1

Входове		продукция
А	B	A + B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

От таблицата на истината е доказано, че

Абсорбционни закони за булева алгебра

Доказателство от таблицата на истината,

Входове			продукция
А	B	AB	A + a.b
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	0	1
1	1	1	1

Колоната A и A + A.B са същите.

Доказателство от таблицата на истината,

А	B	A + B	A.X (А + В)
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	1
1	1	1	1

Колоната A и A.X или A (A + B) са същите.

Терем на Де Морган,

Доказателство от таблицата на истината,

Примери за булева алгебра

Това е друг метод за опростяване на сложния булев израз. В този метод използваме само три прости стъпки.

1. Допълнете целия булев израз.
2. Променете всички OR до ANDs и всички ANDs до ORs.
3. Сега допълнете всяка от променливите и получете окончателен израз.

По този метод,

първо ще бъде допълнено, т.е..Сега променете всички (+) на (.) И (.) На (+) т.е.Сега допълнете всяка от променливите,Това е последната опростена форма на булевия израз,
И това е точно равно на резултатите, които са били получени чрез прилагането на теоремата на Де Морган.
Друг пример,

По втори метод,


Представяне на булева функция в таблицата на истината.
Нека разгледаме булева функция,

Сега нека представим функцията в таблицата на истината.

Така показахме някои основни неща закони на булева алгебра, В другата страница сме описали теоремите на Де Морган и свързаните с него закони.