Overschakelen van algebra of Booleaanse algebra
Booleaanse algebra of schakelalgebra is een systeem van wiskundige logica om uit te voerenverschillende wiskundige bewerkingen in het binaire systeem. Dit zijn slechts twee elementen 1 en 0 waarmee alle wiskundige bewerkingen moeten worden uitgevoerd. Er zijn slechts drie basis binaire bewerkingen, AND, OR en NOT waarmee alle eenvoudige maar ook complexe binaire wiskundige bewerkingen moeten worden gedaan. Er zijn veel regels in Booleaanse algebra waarmee die wiskundige bewerkingen worden uitgevoerd.
In de Booleaanse algebra worden de variabelen vertegenwoordigd door Engelse hoofdletter A, B, C enz. En de waarde van elke variabele kan 1 of 0 zijn, niets anders.
Enkele eenvoudige logische Booleaanse bewerkingen-
EN operatie,
OF operatie,
Geen operatie,
Enkele basiswetten voor Booleaanse algebra,
EEN . 0 = 0 waarbij A 0 of 1 kan zijn.
EEN . 1 = A waarbij A 0 of 1 kan zijn.
EEN . A = A waarbij A 0 of 1 kan zijn.
EEN . Ā = 0 waarbij A 0 of 1 kan zijn.
A + 0 = A waarbij A 0 of 1 kan zijn.
A + 1 = 1 waarbij A 0 of 1 kan zijn.
A + Ā = 1
A + A = A
A + B = B + A waarbij A en B 0 of 1 kunnen zijn.
EEN . B = B. A waarbij A en B 0 of 1 kunnen zijn.
De wetten van de Booleaanse algebra gelden ook voor meer dan twee variabelen zoals,
Cumulatieve wetten voor Booleaanse algebra
Associatieve wetten voor Booleaanse algebra
Distributieve wetten voor Booleaanse algebra
Overtollige letterlijke regel
Van waarheidstafel,
| ingangen | uitgang | ||
| EEN | B | AB | A + ĀB |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| ingangen | uitgang | |
| EEN | B | A + B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Van de waarheidstafel is bewezen dat,
Absorptie Wetten voor Booleaanse algebra
Bewijs van waarheidstafel,
| ingangen | uitgang | ||
| EEN | B | AB | A + A.B |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Zowel A als A + A.B kolom is hetzelfde.
Bewijs van waarheidstafel,
| EEN | B | A + B | A.X (A + B) |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Zowel de A- als de A.X- of A (A + B) -kolom is hetzelfde.
De Morgan's Therem,
Bewijs van waarheidstafel,
Voorbeelden van Booleaanse algebra
Dit zijn een andere methode om complexe Booleaanse expressie te vereenvoudigen. In deze methode gebruiken we slechts drie eenvoudige stappen.
- Complement complete Boolean expression.
- Wijzig alle UPR's in EN's en alle AND's in OR's.
- Vul nu elk van de variabelen aan en krijg de laatste expressie.
Door deze methode,
En het is precies gelijk aan de resultaten die zijn bereikt door toepassing van De Morgan Theorem.
Een ander voorbeeld,
Op tweede methode,
Vertegenwoordiging van Booleaanse functie in waarheidstabel.
Laten we een Booleaanse functie overwegen,
Laten we nu de functie in de waarheidstafel weergeven.
